Notions de Probabilité — Formules et Exemples

Sommaire

La probabilité d’un événement \(A\) dans un univers \(U\) est définie par le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.

\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)} \)

Exemples :

Lancer un dé équilibré : \(P(\text{obtenir un 4}) = \dfrac{1}{6}\)

Tirer une carte rouge dans un jeu de 52 cartes : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\)

Sortir une boule bleue d’une urne contenant 3 boules bleues et 2 rouges : \(P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{5}\)

La probabilité de l’événement \(A\) sachant que l’événement \(B\) est réalisé est donnée par :

\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \), si \( P(B) > 0 \)

Exemples :

On tire une carte rouge et on veut un As : \( P(\text{As} \mid \text{Rouge}) = \dfrac{2/52}{26/52} = \dfrac{1}{13} \)

Un employé en retard a 0,7 de chance d’avoir manqué le bus s’il pleut. \(P(\text{bus manqué} \mid \text{pluie}) = 0{,}7\)

Dans une population, 20% sont fumeurs et 10% d’entre eux ont une maladie respiratoire. \(P(\text{maladie} \mid \text{fumeur}) = 0{,}10\)

La probabilité que deux événements \(A\) et \(B\) se produisent simultanément est donnée par :

\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) \)

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants :

\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

Exemples :

Lancer deux dés : \(P(\text{6 au 1er et 6 au 2e}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}\)

Tirer deux cartes sans remise : \(P(\text{2 As}) = \dfrac{4}{52} \times \dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{221}\)

Probabilité qu’un étudiant réussisse deux examens indépendants : \(P(\text{réussite aux 2}) = P(E_1) \times P(E_2)\)